ระบบพิกัดฉาก

ระบบพิกัดฉาก

ระบบแกนพิกัดฉาก  ระบบแกนพิกัดฉาก คือ ระบบที่บอกพิกัดของจุดด้วยระยะห่างจากแกนที่ตัดกันเป็นมุมฉากโดยปกติจะวางแกนทั้งสองในแนวระดับ และแนวดิ่ง  อักษรที่ใช้เป็นชื่อแกน นิยมใช้ X และ Y

1. แกน X อยู่ในแนวระดับ เรียกว่า แกนนอน ( horizontal axis )

2. แกน Y อยู่ในแนวดิ่ง เรียกว่า แกนตั้ง ( vertical axis )

3. จุดกำเนิด (origin) คือ จุดที่แกนทั้งสองตัดกันแทนด้วย อักษร O (โอ) O เป็นจุดเริ่มต้นของการนับระยะบนแกนทั้งสองใช้แทน ศูนย์ ( 0 ) ถ้านับมาทางขวาหรือขึ้น ข้างบนเป็นจานวนบวก ( positive) ถ้านับมาทางซ้ายหรือลงข้างล่าง เป็นจานวนลบ ( negative)

4. พิกัดร่วม (coordinate) คือตำแหน่งของจุดใดๆ บนระนาบของระบบซึ่งกำหนดด้วยระยะทางที่จุดนั้นอยู่ห่างจากแกนทั้งสอง โดยทั่วไปเราเขียนคู่อันดับใด ๆ ในรูป (x, y)เมื่อ x แทนจานวนที่อยู่บนแกน X และ y แทนจานวนที่อยู่บนแกน Y

 x หมายถึง ระยะที่นับบนแกน X เรียกว่า ระยะระดับ (abscissa)

 y หมายถึง ระยะที่นับบนแกน Y เรียกว่า ระยะดิ่ง ( ordinate)เพื่อแสดงตำแหน่งของคู่อันดับในระบบพิกัดฉาก ถ้าจุด P เป็นจุดบนระนาบที่มีคู่อันดับเป็น (x, y)จะกล่าวว่า P มีพิกัดเป็น (x, y) โดยที่ x เป็นสมาชิกตัวที่หนึ่ง และ y เป็นสมาชิกตัวที่สองและอาจเขียนแทนพิกัดของ P ด้วย P (x, y) เพื่อความสะดวกเรานิยมใช้กระดาษกราฟในการเขียนกราฟซึ่งจะช่วยในการอ่านกราฟได้ง่ายและถูกต้องยิ่งขึ้น

5. หน่วยบนแกนทั้งสอง บนแกนเดียวกันต้องใช้หน่วยเดียวกัน (ทั้งบวกและลบ) แต่หน่วยบนแกน X อาจใช้หน่วยต่างจากหน่วยบนแกน Y ได้ โดยปกติเราจึงอาจเลือกใช้หน่วยใน แต่ละแกนให้เหมาะสมได้

6. จุดที่แกนตัดกันเป็นจุด ( 0, 0) คือ x = 0, y = 0 ดังนั้นจุดกำเนิดหรือจุดO (โอ) จึงตรงกับจุดศูนย์ของแกนทั้งสอง จะเรียกว่าเป็นจุด O (โอ) หรือจุด 0 (ศูนย์) ก็ได้

เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่กล่าวถึงจุดบนระนาบ (point and plane)

เรขาคณิตวิเคราะห์จึงแบ่งได้ดังนี้

-  ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยเส้นตรง สองเส้นเส้นหนึ่งอยู่ในแนวนอน เรียกว่า แกน x อีกเส้นหนึ่งอยู่ในแนวตั้งเรียกว่าแกน y ทั้งสองเส้นนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก และเรียกจุดตัดว่า จุดกำเนิด y ควอดรันต์ที่ II ควอดรันต์ที่ I (-,+) (+,+) x ควอดรันต์ที่ III ควอดรันต์ที่ IV (-,-) (+,-) 2. การหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทางระหว่างจุด P และจุด Q หาได้โดย  PQ = (x2-x1)2 + (y2-y1) 2

-  จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบและให้ M(x,y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง P และ Q เราสามารถหาจุด M ได้ดังนี้

-  จุดกึ่งกลาง M คือ x1+ x2 , y1+ y2 2 2

-  สมการของเส้นตรง Q(x2,y2)

- ความชัน(slop)=tan

Q(x1,y1)

- ความชัน = m = y2 - y1 x2 - x1

สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1) และมีความชันเท่ากับ m คือ y - y1 = m(x - x1)

สมการเส้นตรงที่มี y -intercept เท่ากับ b และมีความชันเท่ากับ m คือ y = mx + b

สามารถเขียนสมการเส้นตรงใหม่ในรูปของ Ax + By + C = 0

วิธีการหาความชันของ Ax + By + C = 0

m=-A/B ตัวอย่าง จงหาความชันของเส้นตรง 3x + 4y - 5 = 0

 วิธีทำ 4y = -3x + 5 y =  ความชันคือ -3/4 4.5 เส้นตรง l1 ขนานกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1=m2

\ -(-3/4)x +(5/4)  เส้นตรง l1 ตั้งฉากกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1m2 = -1

การหาระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง

กำหนดให้ l เป็นเส้นตรงที่มีสมการ Ax + By + C = 0 และ P(x1,y1) เป็นที่อยู่นอกเส้น l

P(x1,y1) d l Ax + By + C = 0

ถ้า d เป็นระยะทางจากจุด P ไปยังเส้นตรง l

 A2 + B2Öd = Ax1 + By1 + C

วงรี

วงรี 

วงรี (Ellipse)

นิยาม

วงรี คือ เขตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆในเซตนี้ไปยังจุดคงที่ 2 จุด มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนั้นมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสอง

-                   จุดคงที่นี้เรียกว่า โฟกัส (Focus) ของวงรี (จุดFและจุดF)

-                   จุดกึ่งกลางระหว่างโฟกัสทั้งสองเรียกว่า จุดศูนย์กลาง ของวงรี (จุด O)

-                   ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัสทั้งสองและมีจุดปลายอยู่บนวงรี เรียกว่า แกนอก (Major Axis) ของวงรี (ส่วนของเส้นตรง AA’)

-                   ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงรีและตั้งฉากกับแกนเอกที่ จุดศูนย์กลางเรียกว่าแกนโท (MinorAxis) ของวงรี (ส่วนของเส้นตรง BB’)

-                   จุดปลายทั้งสองของแกนเอกเรียกว่า จุดยอด (Vertex) ของวงรี (จุด A และ จุด A’)

วงรีที่มีแกนขนานกับแกน x สมการ โดยที่ a > b และ a² = b² + c² จุดศูนย์กลาง(h,k) จุดโฟกัส (h–c,k) และ (h+c,k)

-                   จุดยอด (h–a,k) และ (h+a,k)

วงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกนy สมการ โดยที่ a > bและa²=b²+c² จุดศูนย์กลาง (h,k) จุดโฟกัส (h,k-c) และ (h,k+c) จุดยอด (h,k-a) และ (h,k+a)ผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆบนวงรีไปยังโฟกัสทั้งสองเท่ากัน 2a

-                   แกนเอกยาว2aและแกนโทยาว2b

-                   สมการทั่วไปของวงรีคือAx²+By²+Dx+Ey+F=0โดยที่AB>และAB

-                   Latusrectum ของวงรีคือส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงรี และตั้งฉากกับแกนเอกที่จุดโฟกัส ซึ่งมีความยาว

-                   eccentricity ของวงรี เป็นตัวเลขที่บอกว่างวรีนี้มากน้อยเพียงใด โดยนิยามให้ จะได้ 0 < e < 1 ถ้า e เข้าใกล้ 0 วงรีนั้นจะใกล้เคียงกับวงกลม แต่ถ้า e เข้าใกล้ 1 วงรีนั้นจะรีมาก

วงกลม

วงกลม

ทฤษฎีวงกลม

บทนิยามของวงกลม

                วงกลม  คือ  เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบเดียวกันเป็นระยะทางเท่าๆกัน

ทฤษฎีเกี่ยวกับคอร์ดของวงกลม

1.  ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมวงหนึ่ง  ไปยังจุดกึ่งกลางของคอร์ดใดๆ  ( ที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้น )  จะตั้งฉากกับคอร์ด               
 2.  ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งไปตั้งฉากกับคอร์ดใดๆของวงกลม  จะแบ่งครึ่งคอร์ดนั้น               
 3.  เส้นตรงซึ่งแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลมใดๆ  จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น               
4.  มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน               
5.  ในวงกลมเดียวกัน  หรือวงกลมที่เท่ากัน  คอร์ดที่ยาวเท่ากัน  ย่อมอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน               
6.  ในวงกลมเดียวกัน  หรือวงกลมที่เท่ากัน  คอร์ดที่ยาวย่อมอยู่ใกล้  จุดศูนย์กลางของวงกลมมากกว่าคอร์ดที่สั้น               
7.  ส่วนของเส้นตรงที่ลากต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงที่ตัดกันย่อมแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดร่วม 

ส่วนโค้งและมุมในวงกลม

บทนิยาม

1.  ครึ่งวงกลม  คือ  ระนาบที่ประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางและครึ่งของเส้นรอบวงของวงกลม               
 2.  ส่วนโค้ง  คือ  ส่วนใดส่วนหนึ่งของเส้นรอบวงของวงกลม  ถ้าเส้นรอบวงถูกแบ่งออกเป็น  2  ส่วนไม่เท่ากันส่วนโค้งที่ยาว  เรียกว่า  ส่วนโค้งใหญ่  และ  ส่วนโค้งที่สั้น  เรียกว่า  ส่วนโค้งน้อย               
 3.  ส่วนของวงกลม  คือ  ระนาบที่ประกอบด้วยคอร์ดกับส่วนโค้งของวงกลม               
4.  มุมที่จุดศูนย์กลาง  คือ  มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่ที่จุดศูนย์กลางและมีรัศมี  2  เส้น เป็นแขนของมุม               
 5.  มุมในส่วนโค้งของวงกลม  คือ  มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลมและมีแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม

ทฤษฎีเกี่ยวกับส่วนโค้งและมุมในวงกลม

 1.  มุมที่จุดศูนย์กลางย่อมทีขนาดเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน               
 2.  มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่ยาวเท่ากัน  ย่อมมีขนาดเท่ากัน             
3.  สี่เหลี่ยมที่แนบอยู่ในวงกลม  มุมตรงข้ามรวมกันย่อมเท่ากับสองมุมฉาก               
4.  สี่เหลี่ยมที่มีมุมตรงข้ามรวมกันเป็นสองมุมฉาก  วงกลมย่อมผ่านได้               
5.  ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมที่บรรจุในวงกลมออกไป  มุมภายนอกที่เกิดขึ้นย่อมเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงกันข้าม               
 6.  มุมภายในครึ่งวงกลมย่อมเป็นมุมฉาก               
 7.  ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เท่ากัน  มุมที่อยู่บนส่วนโค้งที่ยาวเท่ากันย่อมมีขนาดเท่ากัน               
 8.  ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เท่ากัน  ส่วนโค้งซึ่งอยู่ตรงกันข้ามกับมุมที่เท่ากันย่อมยาวเท่ากัน 

เส้นสัมผัส

บทนิยาม

1.  เส้นผ่านวง  คือ  เส้นตรงที่ลากตัดเส้นรอบวงของวงกลม  2  จุด               
2.  เส้นสัมผัส  คือ  เส้นตรงที่ลากตัดเส้นรอบวงของวงกลมเพียงจุดเดียว  จุดนี้เรียกว่า  จุดสัมผัส               
3.  เส้นสัมผัสร่วม  คือ  เส้นตรงที่สัมผัสวงกลมตั้งแต่สองวงขึ้นไป

  ทฤษฎีเกี่ยวกับเส้นสัมผัส

   1.  เส้นสัมผัสวงกลมย่อมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส             
   2.  จากจุดๆหนึ่งภายนอกวงกลม  ลากเส้นสัมผัสวงกลมได้สองเส้นยาวเท่ากัน  และต่างรองรับมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากันด้วย               
  3.  วงกลมสองวงสัมผัสกัน  จุดสัมผัสกับจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองย่อมอยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน
     4. มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัส  ทำกับปลายคอร์ดที่จุดสัมผัส  ย่อมเท่ากับมุมในส่วนของวงกลมที่อยู่ตรงกันข้าม 

ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา

นิยาม ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบ ซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆในเซตนี้ไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัวที่มากกว่าศูนย์ แต่น้อยกว่าระยะห่างจากจุดคงที่ทั้งสอง จุดคงที่นี้ เรียกว่า จุดโฟกัส (Focus) ของไฮเพอร์โบลา จุดกึ่งกลางระหว่างจุดทั้งสอง เรียกว่า จุดศูนย์กลาง ของไฮเพอร์โบลา เส้นตรงที่กำกับกราฟไฮเพอร์โบลา เรียกว่า Asymtote ส่วนของเส้นตรงที่อยู่ในแนวจุดโฟกัสทั้งสองและมีจุดปลายอยู่บนไฮเพอร์โบลา เรียกว่า แกนตามขวาง (Transverse Axis) ส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนตามขวางที่จุดศูนย์กลาง และประกอบกันเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำกับไฮเพอร์โบลา เรียกว่า แกนสังยุค (Conjugate Axis) จุดปลายทั้งสองของแกนตามขวาง เรียกว่า จุดยอด (Vertex) ของไฮเพอร์โบลา ไฮเพอร์โบลา ที่มีแกนเอกขนานแกน X สมการ [(x - h) 2/ a 2] - [(y - k) 2/ b 2] = 1 โดยที่ c > a และ c 2 = a 2 + b 2 จุดศูนย์กลาง (h, k) จุดยอด (h-a, k) และ (h + a, k) จุดโฟกัส (h - c, k) และ (h + c, k) Asymtote y - k = (+ -)[(b / a)(x - h)] ไฮเพอร์โบลา ที่มีแกนเอกขนานแกน Y สมการ [(y - k) 2/ a 2] - [(x - h) 2/ b 2] = 1 โดยที่ c > a และ c 2 = a 2 + b 2 จุดศูนย์กลาง (h, k) จุดยอด (h, k - a) และ (h, k + a) จุดโฟกัส (h, k - c) และ (h, k + c) Asymtote y - k = (+ -)[(a / b)(x - h)]

พาราโบลา

พาราโบลา

                                                            

พาราโบลา

บทนิยาม : พาราโบลาคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากับเสมอ

ส่วนประกอบของพาราโบลา

- เส้นคงที่ เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา

- จุดคงที่ (F) เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา

- แกนของพาราโบลา คือเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์

- จุดยอด (V) คือจุดยอดที่พาราโบ-ลาตัดกับแกนของพาราโบลา

- เลตัสเรกตัม (AB) คือส่วนของเส้น ตรงที่ผ่านโฟกัส และ มีจุดปลายทั้ง สองอยู่บนพาราโบลา และตั้งฉากกับ แกนของพาราโบลา

- เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา

พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0)

สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด อยู่ที่ (0,0)

แกนของพาราโบลา คือแกน x หรือ แกน y ซึ่งสามารถ แบ่งออกได้เป็น 4 ลักษณะ ดังนี้

ก.     แกนของพาราโบลาคือแกน x และ โฟกัสอยู่ที่ (c,o) เมื่อ c > o ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดขวา
ให้ P (x,y) เป็นจุดใดๆ บนพาราโบลา PR = PQ

   x2 - 2cx + c2 + y2 == x2 - 2cx + c2 y2 = 4cx เมื่อ c > 0

ข. แกนของพาราโบลาคือแกน x และโฟกัสอยู่ที่ (c,0) เมื่อ c < 0 ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง              x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดซ้าย

ใช้วิธีการเดียวกับ ข้อ ก. จะได้สมการของพาราโบลา y2 = 4cx เมื่อ c < 0 จากรูปที่ 2 เรียก AB    ว่า เลตัสเรกตัมของพาราโบลา เราสามารถคำนวณหา AB ได้ ซึ่งก็คือ ความกว้างของ พาราโบลา ที่โฟกัส
            สมมุติให้ พิกัดของ A คือ (x,c) ดังนั้น x2 = 4 c c x2 = 4 c2 ดังนั้น x = 2c (เพราะว่า x> 0) แสดงว่า AF = 2c เพราะฉะนั้น AB = 2 AF = 4c นั้นคือ ความยาวของลาตัสเรกตัม = 4c = |4 c| หน่วย โดยทั่วไป สำหรับพาราโบลา ในลักษณะอื่นๆ เราสามารถแสดงได้ว่า ความยาวของลาตัสเรกตัม (L.S.) = |4 c| หน่วย

ค. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,2) เมื่อ c > 0 ไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง    y = -c กราฟของพาราโบลาจะหงาย

มีสมการ x2 = 4cy เมื่อ c > 0

สมมุติให้ P (x,y) เป็นจุดๆบนพาราโบลา จากนิยาม PF = PQ

x2 + y2 - 2cy + c2 == y2 + 2cy + c2 x2 = 4cy เมื่อ c > 0

ง. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,c) เมื่อ c < 0 ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะคว่ำ

ด้วยวิธีเดียวกับข้อ ค. จะได้สมการพาราโบลา x2 = 4cy เมื่อ c < 0

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ (0,0)

การหาสมการของพาราโบลาที่จุดยอดที่จุด (h,k) และมีแกนขนานกับ แกน x หรือแกน y 1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h,k) โฟกัส อยู่ที่ (h + c,k) ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง ที่ x = h - c ย้ายแกน ให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ |c|หน่วย ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ (y') 2 = 4cx' แต่ถ้าพิกัดของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ (x,y) จะได้ว่า y' = y - k และ x' = x - h ดังนั้น สมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ(y - k) 2 = 4c (x - h)

เมื่อ c > 0 

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับ ข้อ 1 สมการของพาราโบลาคือ
(y - k) 2 = 4c (x - h)

เมื่อ c < 0

จากสมการ (y - k) 2 = 4c (x - h) กระจายได้ y2 - 2ky + k2 = 4cx - 4ch y2 - 2ky + - 4cx + k2 + 4ch = 0 เมื่อ A = -2k , B = -4c , C = k2 + 4ch จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0
          จะได้ สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับ แกน x จะได้ สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

2.เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h , k) โฟกัสอยู่ที่ (h , k + c) ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง y = k - c ย้ายแกนให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ ฝcฝหน่วย ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ (x') 2 = 4cy' แต่ถ้าพิกัด ของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิม คือ (x,y) จะได้ว่า x' = x - h และ y' = y - k ดังนั้นสมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(x - h) 2 = 4c (y - k)

เมื่อ c > 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับข้อ 2 สมการของพาราโบลา คือ

(x - h) 2 = 4c (y - k) เมื่อ c < 0

เมื่อ c < 0 

จากสมการ (x - h) 2 = 4c (y - k) กระจายได้ x2 - 2hx + h2 = 4cy - 4ck x2 - 2hx - 4cy + h2 + 4ck = 0 เมื่อ A = -2k , B = -4c , c = h2+ 4ck จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0 เมื่อ ดังนั้น สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับแกน y จะได้สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,k)
ข้อสังเกต

1. การดูลักษณะของพาราโบลา ว่าจะหงาย คว่ำ เปิดด้านขวา หรือด้านซ้าย ให้ดูแกนของพาราโบลา และเครื่องหมายของ c

2. การดูแกนของพาราโบลา ให้ดูตัวแปรในสมการว่าตัวแปรใดมีกำลังสูงสุดเท่ากับหนึ่ง แกนของพาราโบลา จะขนานกับแกนพิกัดของ ตัวแปรนั้น เช่น (x-h) 2 = 4c (y-k) จะมีแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y เป็นต้น

3. |c| = c = ระยะห่างระหว่าง จุดยอดและโฟกัส = ระยะห่างระหว่างจุดยอดและไดเรกตริกซ์

4. การหาพิกัดของโฟกัสและสมการไดเรกตริกซ์ เพียงแต่ใช้จุดยอด และ |c| เป็นหลักในการหาก็เพียงพอ